Основы проектирования измерительных приборов и измерительно - вычислительных систем

142 3) коэффициент C 0 ( постоянная составляющая ) является средним значением всех отсчетов , т . е . 1 0 0 1 N k k C x N − = = ∑ ; 4) если число отсчетов N – четное число , то 2 1 ( 1) k N k С x N = − ∑ ; 5) если значения x k – вещественные числа , то коэффициенты ДПФ , номера которых располагаются симметрично относительно N /2, образуют комплексно - сопряженные пары , т . е . 2 ( ) 1 0 1 j N n k N N N n k k C x e N π − − − − = = ∑ После несложных преобразований выражение можно представить в виде 2 2 1 1 2 0 0 1 1 j nk j nk N N j N N N n k k n k k C x e e x e C N N π π − − − π ∗ − = = = = = ∑ ∑ и тогда получим , что C N – n = C n * . Поэтому считают , что коэффициенты 1 2 N C + , …, C N –1 соответствуют отрицательным частотам и их можно не вы - числять . Аналогично преобразованию Фурье для непрерывного сигнала мо - дуль | C n | коэффициента ДПФ определяет амплитуду n- й гармоники дис - кретного сигнала , а диаграмма изменения модулей всех коэффициентов ДПФ является спектральной плотностью S хд ( ω ) дискретного сигнала x д ( t ) при выбранном значении интервала дискретизации . При этом спектраль - ная плотность S хд ( ω ) является периодической функцией частоты с перио - дом ω , а изменение интервала дискретизации ∆ приводит к изменению числа отсчетов , амплитуды и числа гармоник полученного дискретного сигнала . Покажем , что полученная модель дискретного сигнала соответст - вует реальному сигналу и что на основании этой модели можно , используя дискретные преобразования Фурье , восстановить непрерывный сигнал x ( t ). Пусть дана совокупность отсчетов x 0 , x 1 , …, x N –1 некоторого дискрет - ного сигнала x д ( t ), найдены также коэффициенты ДПФ C 0 , С 1 , …, C N /2 , тогда по ним можно восстановить исходный сигнал x ( t ), который под - вергся дискретизации . Для этого записывается ряд Фурье в виде конечной суммы , которая определяет непрерывный сигнал в виде [16]: