Основы проектирования измерительных приборов и измерительно - вычислительных систем

141 значениями x 0 , x 1 , …, x N –1 , взятыми в моменты времени 0, ∆ , …, ( N – 1) ∆ . Полное число отсчетов N = T / ∆ . Математическую модель конкретного сигнала x д ( t ) на интервале [0, T ] можно представить в виде последовательности δ - импульсов , сдвинутых на интервал дискретизации [16] 1 1 д 0 0 ( ) ( ) ( ), N N k k k x x t k x k t k − − = = = δ − ∆ = ∆ δ − ∆ ∑ ∑ (4.30) где x k = x ( k ∆ ) – отсчетное значение аналогового сигнала x ( t ) в момент времени t = k ∆ ; δ ( t – k ∆ ) – δ - функция на k - м интервале дискретизации . Итак , после преобразования в АЦП массив чисел x 0 , x 1 , …, x N –1 яв - ляется единственной информацией , по которой можно судить о спек - тральных свойствах непрерывного сигнала x ( t ). Как и для случая непре - рывных сигналов , методика изучения дискретных сигналов состоит в том , что полученная выборка отсчетных значений мысленно повторяется бес - конечно большое число раз , в результате чего дискретный сигнал стано - вится периодическим . Затем этот сигнал представляется в виде комплекс - ного дискретного ряда Фурье , коэффициенты которого будут характери - зовать спектральные свойства дискретного периодического сигнала . Комплексный ряд Фурье дискретного сигнала x д ( t ) имеет вид [16]: 2 д ( ) , j nk T n n x t C e π ∞ =−∞ = ∑ (4.31) коэффициенты C n которого определяются через отсчетные значения x k из соотношения : 2 1 0 1 j nk N N n k k C x e N π − − = = ∑ (4.32) и образуют так называемое дискретное преобразование Фурье ( ДПФ ) рас - сматриваемого сигнала x д ( t ). Это преобразование принято называть пря - мым ДПФ . Дискретное преобразование Фурье обладает следующими основ - ными свойствами [17]: 1) ДПФ есть линейное преобразование , т . е . сумме сигналов соот - ветствует сумма их ДПФ ; 2) число n различных коэффициентов C n равно числу отсчетов N за период T , при этом , если n = N , коэффициент C N = C 0 ;