Основы проектирования измерительных приборов и измерительно - вычислительных систем

135 [ ] 2 0 1 ( ) lim ( ) . T x x T D x D x t m dt T →∞ = = − ∫ (4.15) Второй момент m x и дисперсия D x находятся также по формулам 2 1 2 ( ), дискретно ; [ ] ( ) , непрерывно . x x x f x x m M x x f x dx x ∞ −∞  −  = =   −  ∑ ∫ (4.16) 2 2 ( ) ( ), дискретно ; ( ) ( ) ( ) , непрерывно . x x x x x m f x x D x D x m f x dx x ∞ −∞  − −  = =   − −  ∑ ∫ (4.17) Для учета статистических связей между двумя значениями случай - ного сигнала x ( t ) и x ( t + τ ) применяют понятие автокорреляционной функции [ ] 0 1 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) , T x T K M x t x t x t x t dt T →∞ τ = + τ = + τ ∫ (4.18) равной усредненному значению произведения сигнала в двух точках , сдвинутых на интервал корреляции τ . Если положить τ = 0, то 2 2 0 1 (0) lim ( ) ( ) T x T K x t dt M x T →∞ = = ∫ , (4.19) т . е . автокорреляционная функция при τ = 0 равна квадрату среднего зна - чения сигнала и достигает при этом своего максимального значения . При τ→∞ K x ( ∞ ) = m x 2 , т . е . корреляционная K x стремится к квадрату математи - ческого ожидания случайной величины . Для того , чтобы охарактеризовать статистическую связь между двумя сигналами ( например , на входе и выходе прибора ) x ( t ) и y ( t ), вво - дится понятие взаимной корреляционной функции : 0 1 ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim ( ) ( ) T xy T K M x t y t M y t x t x t y t d T →∞ τ = + τ = + τ = + τ τ ∫ . (4.20) Заметим , что если K xy ( τ ) = 0, то сигнал x ( t ) и y ( t ) статистически независимы , т . е . некоррелированы .