Системы автоматического управления

обратного преобразования Лапласа f(t) = f \ Nr+ji » Je''F(s)ds при t>0, переменной t (0<t<ao) функцию F(s) комплексной переменной s, Функцию F(s) называют изображением (по Лапласу) функции f(t), а функцию f(t) оригиналом изображения F(s), s - есть комплексная переменная s=rfj ®. Область допустимых значений г подбирается таким образом, чтобы интеграл сходился Сокращенная форма записи преобразования Лапласа имеет вид F(s) = L[f(t)]. В физических приложениях переменная t имеет размерность времени, комплексная переменная s имеет размерность частоты (время)"'. Функция x(t), которая подвергается преобразованию Лапласа, должна обладать следующими свойствами: x(t) должна быть определена и кусочно- дифференцируема при te[o,Qo) и x(t)=0 при t<0. Существуют такие положительные числа М и с, что x(t) < Мс при t е [О, оо), Функции, обладающие указанными свойствами, называются функциями-оригиналами Переход от изображений к оригиналам производится с помощью сокращенный вид которого f(t) = L''[F(S)]. СВЯЗЬ между f(t) и F(s) называется соответствием и обозначается при помощи знака соответствия f (t) о F(s) Основные свойства преобразования Лапласа - Свойство линейности. Изображение суммы двух функций времени равно сумме изображений функций, взятых по отдельности. Умножение оригинала на постоянный коэффициент соответствует умножению на него изображения и обратно L[af, (t) + bfJ (t)] aF, (s) + bFj (s) - Умножение ^гумента оригинала на постоянный коэффициент а>0 приводит к делению аргумента изображения на этот постоянный коэффициент (теорема подобия) f(at)oF(s/a) Эта теорема имеет физический смысл. «Растяжение» шкалы времени в а раз, приводит к аналогичному растяжению периодов всех колебаний, 51