Оптимально управляемые ламинарные пограничные слои

2.4. Алгоритмизация вариационной задачи Отыскание управления m{s), минимизирующего суммарный тепловой по­ ток (2.17), сводится согласно формализму Лагранжа к совместному интегриро­ ванию систем уравнений в частных производных (2.11), (2.24) с краевыми ус­ ловиями (2.12), (2.29), что является весьма сложной математической пробле­ мой. Положение, к сожалению, осложняется еще и тем, что не удается найти ни одного автомодельного решения вариационной задачи, удовлетворяющего всем краевым условиям. Попытка найти какое-либо автомодельное решение даже в более простом случае оптимального управления движением вязкой несжимае­ мой жидкости оказалось безуспешной [44]. Дело в том, что инвариантные ре­ шения ранга единица существуют для уравнений Прандтля только в силу авто­ матического удовлетворения «начальному» условию в точке х = О. Для сопря­ женной системы новая независимая («групповая») переменная такова, что не удается удовлетворить «начальному» условию в точке х = х^. Это обстоятель­ ство вызывает и будет вызывать большие затруднения при решении вопроса о близости конструируемых приближенных управлений к точному. Другими сло­ вами, остается пока довольствоваться эвристическими идеями при построении последовательности оптимальных управлений и соответствующей последова­ тельности минимизируемого функционала, что, впрочем, кажется естественным при решении прикладных задач. При этом воспользуемся следствием из перво­ го интеграла (2.40) и методом обобщенных интегральных соотношений А.А. Дородницына [53, 54]. Прежде всего, получим интегральные соотношения, соответствующие со­ пряженной системе (2.24). Из второго уравнения системы (2.24), учитывая, что А , 2 = 0, имеем ОО ОО у з , или, переходя к интегрированию по переменной и , получаем: 43