Оптимально управляемые ламинарные пограничные слои

Теорема 1.2. Пусть Gf - группа, допускаемая системой (1.9) с оператором f Д(Г)^ и пусть функция / х,ф,— удовлетворяет уравнению (1.16). Тогда функ- V дх) ционал (1.14) инвариантен относительно группы Gj с оператором э X = г, где (х ,ф, А,) - произвольные дифференцируемые функции. Доказательство. Необходимое и достаточное условие инвариантности функционала (1.14) относительно группы Gj в соответствии с (1.5) запишется в виде ^ Э ^ = 0 (/ = 1,2; j,s = \,...,m). (1.25) (1.9) Так как координаты зависят только от х и ф, то Д (^х) = ' Следова­ тельно, с учетом уравнения (1.16) равенство (1.25) примет вид = 0. (1.26) (1.9) В силу уравнений (1.9) и (1.17) левая часть равенства (1.26) тождественно равна нулю при любых и Теорема доказана. Обозначим через Е систему, состоящую из уравнений (1.9) и (1.15). Спра­ ведливо следующее утверждение. Теорема 1.3. Пусть G^ - группа, допускаемая уравнениями (1.9). Для того, чтобы для системы Е имели место законы сохранения вида (1.24), необходимо и достаточно, чтобы вспомогательный функционал (1.14) был инвариантен отно­ сительно группы G °. Доказательство. Согласно усиленной теореме Петер для существования законов сохранения вида (1.24) системы Е, допускающей некоторую груп­ пу Gp, необходимо и достаточно, чтобы функционал (1.14) был инвариантен относительно этой группы на решениях системы Е. Отметим, что р>г, так как система (1.15) в силу однородности и линейности относительно множителей 22