Оптимально управляемые ламинарные пограничные слои

-л Так как \)/^ х,ф,— =0 области D, то в силу уравнений (1.16) и (1.17) ле- V ал у Необходимое и достаточное условие инвариантности функционала (1.14) относительно оператора в соответствии с (1.5) запишется в виде 1» (/ + Х'щ ) + (/ + Х'щ ) о» )| ,4.32) = о. дх вая часть равенства (1.18) тождественно обращается в нуль. Теорема доказана. Следствие. Для вариационной задачи Майера вспомогательный функцио­ нал всегда инвариантен относительно оператора допускаемого системой (1.9). Действительно, в этом случае / = 0 и условие (1.16) выполняется автома­ тически. Сделаем следующие замечания. 1. Если G °ecTb г - параметрическая группа с операторами (а = 1,...,г), то функционал V2 будет инвариантным относительно каждого из них, однако всякий раз для функции / будет свое уравнение (1.16). 2. Эта теорема имеет практическое значение, так как на сегодняшний день непрерывные группы преобразований вычислены для многих классов диффе­ ренциальных уравнений в частных производных, описывающих различные процессы в аэродинамике, теории упругости и в других областях естествозна­ ния. Поэтому при постановке вариационных задач их можно использовать для построения соответствующих законов сохранения. Так как подынтегральная функция в (1.14) зависит не только от х, ф и— , дх но и от А, то инвариантность этого функционала вообще говоря, должна рас­ сматриваться относительно группы Ли*^: Отметим, что функции /' и F' не могут содержать множители Лагранжа , так как это повлекло бы ноявление в правой части равенства (1.3), где L = f + производных дX^' - , что сделало бы невозможным его выполненпе. дх' 20