Оптимально управляемые ламинарные пограничные слои

заданы обыкновенными дифференциальными уравнениями (1.12), а остальные {п + \- q) даются условиями трансверсальности. Решение такой вариационной задачи является, вообще говоря, весьма сложной математической проблемой (даже с использованием ЭВМ). Наличие же первых интегралов или, хотя бы, дивергентных форм, может существенно облегчить проблему поиска экстремалей. Что касается проблемы вычисления группы Ли, оставляющей инвариант­ ным вспомогательный функционал (1.14), представляет интерес ответ на сле­ дующий вопрос: пусть группа G^, которую допускает система (1.9), известна; спрашивается, при каких условиях относительно этой же группы остается ин­ вариантным и функционал (1.14). Справедливо следующее утверждение [10]: Теорема 1.1. Пусть*^ + (г = 1,2;/: = 1,...,и) Эх Эф ^ Эф^ ах оператор группы G °, допускаемой системой (1.9), и пусть функция / удовлетворяет уравнению в частных производных Тогда вспомогательный функционал V2 будет инвариантным относительно той же группы. Доказательство. По условию координаты инфинитезимального операто­ ра X удовлетворяют определяющим уравнениям [89] ^ ° ( у ' ) | ( ь , )=0 = (1.17) где Э Э k д 1 ° = l-" + = Df (4;) - ( p J d " (i;i); 'T, • M . ЗУ • 3^4 ' a левые части уравнений (1.17) вычисляются на многообразии М, заданном уравнениями (1.9). Для удобства в дальнейшем всюду будем писать х их вместо (соответственно) х и у. 19