Оптимально управляемые ламинарные пограничные слои

dxdy. Пусть L не содержит в явном виде х . Следовательно, функционал допус­ кает оператор однопараметрической группы с координатами = О; = О. Согласно (1.8) имеет место закон сохранения: Эф дЬ — + L дх Эф^ +Dy Эф dL дх Эф = 0 . У J Ясно, что для произвольной функции L левую часть этого равенства нель­ зя представить в виде полной производной от некоторого выражения по коор­ динате X или у . Тем не менее, представление уравнений Эйлера в дивергент­ ной форме (1.8) может быть полезным при численном интегрировании этих уравнений. Дальнейшее развитие теории инвариантных вариационных задач было да­ но Н.Х. Ибрагимовым [59]. Он, в частности, установил необходимые и доста­ точные условия существования законов сохранения (1.8), которые сформулиро­ ваны в виде следующего утверждения. Усиленная теорема Э. Нетер - Н. Ибрагимова. Пусть - группа Ли, допускаемая уравнениями Эйлера - Остроградского (1.4). Для того, чтобы име­ ли место законы сохранения (1.8),необходимо и достаточно, чтобы значение вариационного интеграла (1.1) на экстремалях было инвариантно относительно группы . Отметим, что инвариантность вариационного интеграла (1.1) на экстрема­ лях относительно группы G^ означает, что равенство (1.3) имеет место не для всех ф^ (х), а только для тех, которые являются решениями уравнений Эйлера. В этом и заключается смысл модифицированного определения инвариантности функционала, предложенного Н.Х. Ибрагимовым. Следует подчеркнуть, что не все законы сохранения, получающиеся из усиленной теоремы, будут линейно-независимыми. Однако их число, во всяком случае, будет не меньше, чем в теореме Э. Нетер, так как все эти законы сохра- 16