Оптимально управляемые ламинарные пограничные слои

dL Эф^ Д г л dL к J Эф + д ~ ^ х j ^ + ^Ьх О (1.7) (i,j = l,...,n-,k = l,...,m-,a = l,...,r). •л Отсюда следует известная теорема Э.Нетер [59, 145]. Из инвариантно­ сти функционала I относительно группы с операторами следует г ли­ нейно-независимых дифференциальных законов сохранения вариационной за­ дачи Д I'с.оЛ j'rai (1.8) Справедливость равенств (1.8) следует из (1.7), если учесть, что функции ф^(л:) являются решениями уравнений (1.4). Введем следующее понятие [30]. Определение. Уравнения Эйлера - Остроградского (1.4) допускают пер­ вый интеграл, если левую часть равенства (1.8) при некотором фиксирован­ ном а можно представить в виде полной производной от некоторой функции аба61 ш oai ё ei 6i 6i ё yaeyjD ofiy x, ф, дх по одной из независимых перемен­ ных х\...,х" ,т.е. когда уравнение (1.8) интегрируется точно один раз по данной переменной. Отметим, что существование хотя бы одного первого интеграла приводит к понижению порядка уравнений Эйлера на единицу. Подчеркнем также, что для вариационной задачи с одной независимой переменной инвариантность функ­ ционала относительно группы немедленно дает возможность получить г линейно-независимых первых интегралов. Для случая же нескольких независи­ мых переменных инвариантность функционала относительно, например, груп­ пы Gj еще не гарантирует существования первого интеграла. Действительно, рассмотрим, например, функционал: Для удобства в дальнейшем всюду будем писать и вместо (соответственно)хиу . 15