Оптимально управляемые ламинарные пограничные слои

Х^=а,(\-и). (4.64) Подставляя выражение для Х2 в формулу (4.17), получим (4.58). Утверждение 4.6. Для случая обтекания затупленного тела потоком, для которого число Прандтля равно единице, фактор-система, соответствующая уравнениям (4.14), и граничные условия к ней, соответственно, имеют вид Ф " + ( Ф - 2 и / и - Z M / 2 ) Ф Ч 2(\\fu"/u + Фи/2= О , / " +/ ( ф - zu/2) + ФУ[2\\('и/и - V I + Фм/2 = О; (4.65) / =0, Ф' = - ^ и (z = 0); / ^ 0 , Ф ^ О ( z^oo) , (4.66) где F = 'kilyfs , Ф = А,2/л/^, / = А,з/л/1. (4.67) Доказательство. Фактор систему построим для оператора: + (4.68) Помимо функций Z, ф, и, \|/, инвариантами являются также функ­ ции (4.67). Подставляя (4.67) в (4.14), получим фактор-систему (4.65). Граничные условия (4.15) примут вид: / ( 0 ) = 0; ^ ^ (4.69) / ^ 0 , Ф ^ О (Z^oo). Недостающее краевое условие для функции Ф получим из второго урав­ нения (4.14), которое в новых переменных примет вид: Ф ' - / ¥ - ^ м ' = 0. (4.70) При t = 0\ z = 0, Xi = -а^ ~ -yj2cs , / = О , откуда Ф\0) = -у[^и{0). (4.71) Утверждение 4.7. Оптимальное управление в первом приближении задачи о минимизации ньютоновского трения на затупленном теле, обтекаемом сверх- 105