Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

96 ( ) 2 A f a ∈ , т . е . подмножество ( ) f a A ⊂ . Определим множество X следующим образом : ( ) { } : X a A a f a = ∈ ∉ . Очевидно X A ⊂ , т . е . 2 A X ∈ . Покажем , что подмножеству X не соответствует ни один элемент множества A при отображении f . От противного , допустим ( ) : x A f x X ∃ ∈ = . Возможны два случая : 1) если x X ∈ , то x X ∉ по определе - нию множества X ; 2) если x X ∉ , то x X ∈ по той же причине . В обоих случаях приходим к противоречию . Следовательно , допущение о существовании элемента x A ∈ такого , что ( ) f x X = , неверно . Вывод : во множестве A нет элемента , соответствующего множеству X при отображении f , а так как функция f произвольная , то нельзя установить биекцию множеств A и 2 A , т . е . ~ 2 A A / , или 2 A A ≠ . Теорема доказана . Смысл доказанной теоремы в том , что максимальной мощ - ности не существует . Переходя от множества к его булеану , можно получить множество сколь угодно большой мощности : , 1 A A ∀ > 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... A A A A A < < < < < Пусть { , } i A i J ∈ – семейство попарно непересекающихся множеств ( ) i j i j A A ∀ ≠ ∩ = ∅ и , i i a A i J = ∈ . Положим , по определению ; i i i i i J i J i J i J a A a A ∈ ∈ ∈ ∈ = = ∑ ∏ ∏ U . (9.8) Справедлива следующая теорема .