Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

97 Теорема 9.3. Если , i i J α = α ∈ , то . i i J J ∈ α = α ∑ (9.9) Доказательство . Если A α = , то J J A ⋅ α = × . Обозна - чим ( ) , i A множество пар вида ( ) , i a , где , a A i J ∈ ∈ : ( ) ( ) , { , : }, i A i a a A i J = ∈ ∈ . (9.10) Тогда ( ) , i J i A J A ∈ = × U . (9.11) Так как слагаемые в последней сумме множеств не пересе - каются ( ) ( ) ( ) , , , i A j A i j ∩ = ∅ ≠ и ( ) , , i A A = = α i J ∀ ∈ , то в со - ответствии с (9.8), (9.11) ( ) , i i J i J i A J A J ∈ ∈ α = = × = α ∑ U . Что и требовалось доказать . Доказательство приведенных здесь утверждений теории множеств , а также много других фактов этой теории можно найти в работах [2, 5, 11].