Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

95 α + γ < β + γ → α < β ; α ⋅ γ < β ⋅ γ → α < β ; γ γ α < β → α < β ; α β γ < γ → α < β . Из выражений (9.2) – (9.5) видно , что правила работы с бес - конечными кардинальными числами внешне в основном такие же как правила работы с обычными ( конечными ) числами , но есть и существенные отличия . Пусть , как и ранее , 0 α – счетная мощность ; c – мощность континуума ; n – конечная мощность . Тогда 0 2 c α = . Кроме того , справедливы равенства : ( ) 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , 1 . n n c c c c c c c c c n c c c n c c c n c c n α α α < α < + = ⋅ = = + = α + = ⋅ = α = = α = = > (9.6) Кантором доказана следующая теорема . Теорема 9.2. Для любого множества A справедливо нера - венство 2 A A < . (9.7) Доказательство . Пусть { } { }: B a a A = ∈ – совокупность одно - элементных подмножеств множества A . Между множествами A и B можно установить взаимно - однозначное соответствие : a A ∀ ∈ { } a a ↔ . Очевидно , что 2 A B ⊂ . Таким образом , множество 2 A содержит собственное подмножество B , эквивалентное ( ) ~ A B A . Следовательно , 2 A A ≤ . Докажем , что 2 A A ≠ . Пусть : 2 A f A → – произвольная взаимно - однозначная функ - ция , отображающая множество A в 2 A ( инъекция A в 2 A ). Эта функция ставит каждому элементу a A ∈ в соответствие элемент (9.5)