Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

94 что число α меньше числа β и пишут α < β ( сравните с определением отношения неравенства кардинальных чисел , введенным ранее ). Установить неравенство кардинальных чисел можно , ис - пользуя следующее утверждение . Теорема 9.1. Если : f A B → – функция , отображающая A на B ( ) ( ) f A B = , то B A ≤ . Отношение ≤ неравенства кардинальных чисел обладает свойствами рефлексивности , антисимметричности , транзитивности и полноты , т . е . для любых кардинальных чисел α , β , γ справедли - вы соотношения α ≤ α ; & α ≤ β β ≤ α → α = β ; & α ≤ β β ≤ γ → α ≤ γ ; α ≠ β → α < β ∨β < α ; Операции , сложения , умножения и возведения в степень кардинальных чисел обладают свойством монотонности : α ≤ β → α + γ ≤ β + γ ; α ≤ β → α ⋅ γ ≤ βγ ; γ γ α ≤ β → α ≤ β ; α β α ≤ β → γ ≤ γ . Утверждения , обратные к (9.4), неверны , т . е . несправедливы законы сокращения . Действительно , достаточно рассмотреть слу - чай 3 , 2 α = β = , 0 γ = α = N – счетная мощность . Для отношения строгого неравенства (<) кардинальных чи - сел законы монотонности неверны ( например , 0 2 < α = N , но 0 0 0 0 0 0 0 2 2 + α = α + α = α α = α = α ; 2 3 < , но 0 0 2 3 α α = ), но зато вер - ны законы сокращения : (9.3) (9.4)