Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

92 г ) множества A и B не эквивалентны и ни в одном из них нет части , эквивалентной другому ( ) ( ) ( ~ & ~ & A B A B A B ′ ′ ′ ∀ ∀ / / ) & ~ B A ′ / . В случае " а " кардинальные числа множеств равны A B = ; в случае " б " считается , что A B < ; в случае " в " A B = ; случай " г " невозможен , т . е . несравнимых мощностей не существует . Случаи " в " и " г " решаются известными теоремами Кантора – Бернштейна и Цермело [3, 5]. Заметим , что для конечных мно - жеств в случае " б " последний множитель конъюнкции можно от - бросить . Отношение равномощности ~ и операции над множествами связаны следующими соотношениями : 1 1 2 2 ~ & ~ & A B A B ( ) 1 2 1 2 1 2 A A B B A A ∩ = ∅ = ∩ → ∪ 1 2 ~ B B U ; ~ 2 ~ 2 A B A B → ; 1 1 2 2 1 2 1 2 ~ & ~ ~ A B A B A A B B → × × ; ~ A B B A × × ; ( ) ( ) ~ A B C A B C × × × × ; (9.1) { } { } ~ ~ a A a A A × ; { } ~ { } A a a ; ~ A B A B A B Y Y Y ∪ ∩ = ∅ → × ; ~ ( ) A B A B Y Y × ; ( ) ~ A A A Y Z Y Z × × . Введем операции над кардинальными числами и определим алгебру кардинальных чисел . Пусть α , β , γ – произвольные кардинальные числа ; A α = , B β = , C γ = . Вводятся операции сложения , умножения и воз - ведения в степень кардинальных чисел .