Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

91 – множество всех иррациональных чисел интервала ( ) 0, 1 ; – множество всех точек пространства ( ) ( ) , n n −∞ ∞ ∈ N ; – множество всех трансцендентных чисел ; – множество всех бесконечных последовательностей дейст - вительных чисел ( ) , −∞ ∞ N . Кантором была выдвинута так называемая континуум - гипотеза : не существует множества промежуточной мощности между мощностями множества натуральных чисел N и мощностью множества действительных чисел R . Известна также обобщенная континуум - гипотеза , которая утверждает , что не существует про - межуточной мощности между мощностью A любого бесконеч - ного множества A и мощностью 2 A булеана 2 A . В XX веке К . Геделем (1936 г .) и П . Коэном (1963 г .) было установлено , что континуум - гипотеза не может быть доказана или опровергнута средствами традиционной теории множеств . Мощности конечных множеств , т . е . натуральные числа , сравнить очень просто . Для произвольных ( в том числе и беско - нечных ) множеств возможны следующие случаи . Пусть A , B – произвольные множества , A , B – их мощно - сти , , A A B B ′ ′ ⊂ ⊂ – собственные подмножества A и B . Возможны четыре случая : а ) ~ A B , т . е . существует взаимно - однозначная функция ( би - екция ), отображающая множество A на множество B ; б ) A эквивалентно некоторой части B , но в A нет части , экви - валентной B , т . е . ( ( ~ ) ) & ( ( ~ )) B A B A A B ′ ′ ′ ′ ∃ ∀ / ; в ) A эквивалентно некоторой части множества B и B эквива - лентно некоторой части множества A , т . е . ( ) ~ & ~ A B A B B A ′ ′ ′ ′ ∃ ∃ ;