Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

9 Множества обозначаются латинскими прописными буквами , ,..., ,... А В Х , а элементы малыми , а b , …, х и т . д . Принадлежность элемента множеству обозначается символом ∈ . Например , запись v V ∈ означает , что элемент v принадлежит множеству V . Запись v V ∉ или v V ∈ , или ( ) v V ¬ ∈ означает , что элемент v не принад - лежит множеству V . Считается , что ( либо ) a B a B a B ∀ ∀ ∈ ∉ . Если каждый элемент множества A является также и элемен - том множества B , то говорят , что множество A является подмно - жеством множества B или , что A включается ( содержится ) в B , или , что B является надмножеством множества A , и пишут A B ⊂ или B A ⊃ . Таким образом , ( ) A B a a A a B ⊂ ↔∀ ∈ → ∈ . Два множества называются равными , если каждое из них со - держится в другом : ( ) & ( ) A B A B B A = ↔ ⊂ ⊂ , Это значит , что множества полностью определяются своими элементами . Если ( ) & ( ) A B A B ⊂ =/ , то говорят , что множество A является собствен - ным подмножеством множества B . Множества бывают конечные и бесконечные . Множество называется конечным , если оно содержит конечное число элемен - тов . В противном случае множество называется бесконечным . Число элементов конечного множества обозначается символом A . Общеизвестными примерами бесконечных множеств являются множества N , Z , Q , R соответственно натуральных , целых , рацио - нальных и действительных чисел . Обычно фиксируется некоторая совокупность всех элемен - тов , рассматриваемых в данном исследовании , называемая универ - сальным множеством или универсумом . Если Ω есть универсаль - ное множество , то любое из рассматриваемых множеств является подмножеством Ω . Совокупность всех подмножеств Ω обозначает - ся 2 Ω и называется булеаном множества Ω .