Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

76 1 2 1 3 1 2 1 3 ( , ) ( ) & ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ). a c R R a c R R a c R R R R ↔ ∈ ∈ ↔ ↔ ∈ ∩ o o o o 4. Пусть 1 2 , R R A B ⊂ × . Тогда 1 1 1 2 , R R B A − − ⊂ × . 1 1 1 1 2 2 (( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ). a A b B b a R a b R a b R b a R − − ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ → → ∈ → ∈ → ∈ 5. Пусть 1 2 , R A B R B C ⊂ × ∈ × . Тогда 1 2 , R R A C ⊂ × o 1 1 2 ( ) R R − ⊂ o 1 1 2 1 , , . C A R C B R B A − − × ⊂ × ⊂ × Имеем следующую логическую цепочку : ( ) 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( & ) ( & ) ( & ) ( ) ( , ) ) . c C a A c a R R a c R R b B aR b bR c b bR a cR b b cR b bR a c R R a c a R R − − − − − − − − − ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ↔ ∈ ↔ ↔ ∃ ∈ ↔ ∃ ↔ ↔ ∃ ↔ ↔ ∈ o o o o 6. Пусть 1 2 , R R A B ⊂ × . Тогда 1 1 1 2 , , R R B A − − ⊂ × 1 1 2 ( ) . R R B A − ∪ ⊂ × Справедлива логическая цепочка : 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 (( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ). a A b B b a R R a b R R a b R a b R b a R b a R b a R R − − − − − ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∪ ↔ ∈ ∪ ↔ ↔ ∈ ∨ ∈ ↔ ∈ ∨ ∈ ↔ ↔ ∈ ∪ 7. При тех же обозначениях справедлива цепочка : 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 (( , ) ( ) ( , ) ( , ) & ( , ) ( , ) & ( , ) ( , ) ). a A b B b a R R a b R R a b R a b R b a R b a R b a R R − − − − − ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∩ ↔ ∈ ∩ ↔ ↔ ∈ ∈ ↔ ∈ ∈ ↔ ↔ ∈ ∩ Теорема доказана . В терминах введенных операций свойства бинарных отно - шений 2 R A ⊂ , заданных на множестве A , могут быть выражены следующим образом :