Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

69 Рис . 5.5. Диаграммы Хассе упорядоченных множеств (2 ; ) Ω ⊂ и ({ 0, 1, 2, 3}; ) ≤ Пусть B А ⊂ – подмножество упорядоченного множества ( , ) A p . Элемент a A ∈ называется верхней гранью подмножества B , если ( ) b B b a ∀ ∈ p . Аналогично определяется нижняя грань : эле - мент a A ∈ называется нижней гранью подмножества B , если ( ) b B a b ∀ ∈ p . Наименьшая из всех верхних ( наибольшая из всех нижних ) граней подмножества B называется точной верхней ( нижней ) гра - нью этого подмножества и обозначается ( ) sup inf B B . Элементы sup B и inf B можно соответственно определить как наименьший и наибольший элементы множеств верхних и нижних граней под - множества B . Очевидно , что sup B (inf ) B существует не для всякого под - множества B . Элемент sup B (inf ) B , если он существует , отличается от наи - большего ( наименьшего ) элемента 0 b 0 ( ) b подмножества B тем , что не обязательно принадлежит множеству B . Если наибольший ( наименьший ) элемент подмножества B 0 b 0 ( ) b существует , то существует и sup B (inf ) B , причем sup B = 0 b ( ) 0 inf B b = .