Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

68 Также непусто отношение доминирования на множестве це - лых чисел Z с естественным числовым порядком . Отношения доминирования непусты в любых конечных упо - рядоченных множествах , если , конечно , отношения порядка непусты . Конечное упорядоченное множество ( , ) A R можно изобра - зить в виде так называемой диаграммы Хассе . На ней элементы множества изображаются точками плоскости . Точки располагают - ся на параллельных прямых . Две точки x и y соединяются отрезком прямой , если элемент y доминирует над элементом x , при этом точка x располагается ниже точки y . Иногда отрезки ориентируют от точки y к точке x . При этом точки , расположенные на одной прямой , несравнимы . Отношение порядка ≤ является транзитивным замыканием отношения доминирования , ассоциированного с этим порядком . Это значит , что для любых двух различных элементов , x y A ∈ x y ≤ тогда и только тогда , когда существует последовательность элементов 0 1 , ,..., n x x x такая , что 0 , n x x x y = = и 0 ( 1) i n ∀ ∈ − − ( i x 1 ) i x + . Поэтому диаграмма Хассе дает полное представление о порядке ≤ . На рис . 5.5, а показана диаграмма Хассе частично упорядо - ченного множества (2 ; ) Ω ⊂ , где { , , } a b c Ω = . Здесь { , , } a b c Ω = – наибольший и единственный максимальный элемент , а ∅ – наи - меньший и единственный минимальный элемент частично упоря - доченного множества (2 ; ) Ω ⊂ . На рис . 5.5, б показана диаграмма Хассе линейно упорядо - ченного множества ({0, 1, 2, 3}; ) ≤ , где ≤ – неравенство чисел . Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества ( , ) F ⊂ , рассмотренного в примере 5.10, показана на рис . 5.4, б .