Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

58 1. Заметим , во - первых , что по определению классов эквива - лентности ( ) a A a R A ∀ ∈ ⊂ , т . е . все классы являются подмноже - ствами A . Выполняется первое условие (1.7). 2. Докажем , что любые два разных класса не пересекаются . Допустим , что классы ( | ) a R и ( | ) b R пересекаются . Тогда : ( | ) & ( | ) c A c a R c b R ∃ ∈ ∈ ∈ . Пользуясь свойствами симметрично - сти и транзитивности эквивалентности R , получим следующую логическую цепочку : ( | ) с a R ∈ & ( | ) & & c b R cRa cRb aRc ∈ → → & ( | ) cRb aRb bRa b a R → → → ∈ . Далее ( ( | ) & x x b R xRb bRa ∀ ∈ → → ( | )) xRa x a R → ∈ , т . е . каждый элемент множества ( | ) b R является элементом множества ( | ) a R . Доказано включение ( | ) ( | ) b R a R ⊂ . Аналогично доказывается обратное включение ( | ) ( | ) a R b R ⊂ . Таким образом , ( | ) ( | ) a R b R = . Итак , пересекающиеся клас - сы совпадают . Следовательно , различные классы не пересекаются . Значит , классы семейства ( | ) А R не пересекаются . Выполняется второе условие (1.7). 3. Исходя из определения объединения семейств множеств , получим равенство ( | ) a A a R A ∈ = U – объединение всех классов эквива - лентности равно A . Действительно , { } { } ( ) ( ) ( | ) ( | ) \ a A a R a a R a ∀ ∈ = ∪ . Следовательно , ввиду ассоциативности объединения , ( | ) a A a R ∈ = U = { } a A a ∈   ∪     U { } ( ) { } ( ) ( | ) \ ( | ) \ a A a A a R a A a R a A ∈ ∈     = ∪ =         U U , так как второе слагаемое содержится во множестве A . Включение ( | ), a a R ∈