Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

59 a A ∀ ∈ следует из рефлексивности отношения R . Выполняется третье условие (1.7). 4. Заметим , что в силу рефлективности R ( ( | )) a A a a R ∀ ∈ ∈ → ( | ) a A a R ∀ ∈ ≠ ∅ , т . е . все классы смежности непусты . Выполняется условие (1.8). Как видим , для семейства множеств ( | ) A R выполняются все четыре условия определения разбиения множеств , данного в гл . 1. Доказана следующая Теорема 5.1. Любое отношение эквивалентности R , задан - ное на множестве A , определяет разбиение ( | ) A R этого множества на классы эквивалентности ( | ), a R a A ∈ . Два элемента множества A эквивалентны тогда и только тогда , когда они принадлежат од - ному классу эквивалентности . Эта теорема играет важную роль при различных математи - ческих построениях . Ранее указывалось , что примером эквивалентности является отношение равенства чисел (5.1). В этом случае ( , ) x ∀ ∈ −∞ ∞ ( | ) { } x x = = и фактор - множество множества действительных чисел ( , ) −∞ ∞ , по эквивалентности =, равно (( , ) | ) −∞ ∞ = = {{ }: ( , )} x x ∈ −∞ ∞ . Здесь все классы эквивалентности одноэлементные . Это обстоя - тельство характерно для любого отношения тождества и соответ - ствует очевидному факту , что каждый элемент тождествен только самому себе . Знак равенства используется , как правило , для обозначения тождества . Однако требование тождества ( равенства ) элементов во многих случаях оказывается чрезмерным . Если рассматривается множество неких объектов , обладающих определенными характе - ристиками , то бывает желательно ввести такие отношения , которые бы позволяли считать неотличимыми ( эквивалентными ) объекты , хотя и не равные , но совпадающие по своим наиболее существен -