Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

57 щим свойством ℑ , называется отношение 2 R A ′ ⊂ такое , что R R ′⊂ , и для любого отношения 2 R A ′ ⊂ , обладающего свойством ℑ , выполняется включение R R ′ ′′ ⊂ . Множество R' – суть минималь - ное по включению надмножество множества R , обладающее свой - ством ℑ . Рассмотрим теперь некоторые специальные типы бинарных отношений – отношения эквивалентности и порядка . Отношение эквивалентности Бинарное отношение R на множестве A называется отноше - нием эквивалентности ( эквивалентностью ), если оно рефлексивно , симметрично и транзитивно . Примером эквивалентности является отношение равенства ( тождества ): {( , ) : } A a a a A θ = ∈ . Пусть на множестве A задана эквивалентность R и а А ∈ . Классом эквивалентности ( или классом смежности ) элемента а А ∈ по эквивалентности R ( по модулю R ) называется множество ( ) { : } a R b A bRa = ∈ – множество всех элементов , эквивалентных a . Множество всех классов эквивалентности называется фак - тор - множеством множества A по эквивалентности R и обознача - ется { } ( ) : ( ) ( ) : A R A R a R a A = ∈ . Например , если A – множество студентов факультета , отно - шение R – признак принадлежности студентов одной академиче - ской группе , то фактор - множество ( ) A R есть множество групп факультета . Докажем , что фактор - множество ( ) A R множества A по эк - вивалентности R является разбиением множества A ( см . определе - ние (1.7), (1.8)).