Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

54 Пример 5.7. Отношение делимости чисел . Пусть {0,1,2,3} А = . Говорят , что m делит n , если существует число ( ) , , k m n k ∈ Z та - кое , что mk n = . В этом случае пишут / m n . Бинарное отношение R на множестве A определим следующим образом : , ( / ) a b A aRb a b ∀ ∈ ↔ . (5.23) Построим множество 2 A и выделим в нем подмножество R , со - ответствующее данному признаку делимости . Декартовый квадрат A 2 равен 2 {(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2), A = (2,3), (3,0), (3,1), (3,2), (3,3)} . Найдем числа , a b A ∈ , связанные отношением R , т . е . такие , что / a b . По определению отношения R , получим : 0 / 0; 1/ 0; 1/1; 1/ 2; 1/ 3; 2 / 0; 2 / 2; 3/ 0; 3/ 3 . Следовательно , {(0, 0), R = (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 0) , (2, 2) , (3, 0), (3, 3)} . На рис . 5.2 изображены множество 2 A – узлы решетки и от - ношение делимости 2 R A ⊂ – выделенные узлы . Пример 5.8. Отношение непосредственного предшествова - ния . Пусть {1,2,..., ,...} A n = = N – множество натуральных чисел ; отношение R на множестве N задано равенством {( , 1) : } R n n n = + ∈ N . (5.24) Во - первых , заметим , что 2 R ⊂ N . Следовательно , R является бинарным отношением на N . Какой признак определяет это мно - жество ? Очевидно , что , ( ( , ) 1) n т m n R n m ∀ ∈ ∈ ↔ = + N . Поэтому это отношение определяет признак « непосредственно предшествует ».