Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

53 жеств для исследования отношений , а также упрощает всевозмож - ные обобщения . Например , отношения , , = ≤ < , заданные выражениями (5.1) – (5.3) можно изобразить в виде подмножеств действитель - ной плоскости 2 ( , ) −∞ ∞ , изображенных на рис . 5.1. Рис . 5.1. Отношения равенства и неравенства вещественных чисел : а – равенство чисел – диагональ бесконечного квадрата 2 ( , ) −∞ ∞ ; б – нестрогое неравенство чисел – верхняя полуплоскость , включая диагональ ; в – строгое неравенство чисел – верхняя полу - плоскость , исключая точки диагонали Говорят , что отношение R задано на множестве A , если :( , ) a A b A a b R ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ . В противном случае , когда a A ∃ ∈ b ∀ ( , ) A a b R ∈ ∉ , отношение R называется отношением , заданным во множестве А . Все три отношения , изображенные на рис . 5.1, являются от - ношениями , заданными на множестве ( , ) −∞ ∞ . Отношение R = ∅ называется нулевым ( или пустым ) отно - шением , а {( , ) : } A a a a A θ = ∈ – единичным отношением или от - ношением тождества . Отношение A θ изображается диагональю квадрата 2 А . Отношением тождества является , в частности , отно - шение равенства чисел , изображенное на рис . 5.1, а . Приведем два примера бинарных отношений , заданных на дискретных множествах .