Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

45 декартова произведения множеств A B × можно ввести следующим образом : ( ) ( , ), A B A B I z I x y × × = где ( ) 1 2 , z x y = ∈Ω ×Ω , ( ) ( , ) A B A B I z I x y × × = = 1, & ; 0, . х А у В х А у В ∈ ∈   ∉ ∨ ∉  (4.5) Очевидно , 1 2 x y ∀ ∈Ω ∀ ∈Ω ( , ) ( ) ( ). A B A B I x y I x I y × = (4.6) где ( , ) A B I x y × – функция двух независимых переменных , определен - ная в прямоугольнике 1 2 Ω ×Ω . Аналогично ( ) A B C I t × × = ( , , ) A B C I x y z × × = ( ) ( ) ( ) A B c I x I y I z = , где переменная t равна 1 2 3 ( , , ) t x y z = ∈Ω ×Ω ×Ω и т . д . Индикатор декартова произведения 1 2 ... n A A A × × × , ( 2) n ≥ является функцией n переменных , 1, i i x i n ∈Ω = : 1 1 2 1 1 1 2 ( , , ) ... ; ( ) ( ) ( )... ( ). n n n n A A A A A n z x x I z I x I x I x × × ∀ = ∈ Ω × × Ω = L L (4.7) Используя это определение , докажем в качестве примера первое из равенств (3.6): ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D A C B D ∩ × ∩ = × ∩ × . Для левой части равенства ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) A B C D A B C D I x y I x I y ∩ × ∩ ∩ ∩ = = ( ) ( ). ( ) ( ) A B C D I x I x I y I y . Для правой части равенства ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B D A C A C B D I z I z I z × × × ∩ × = = ( , ) ( , ) B D A C I x y I x y × × = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B D B D C A C I x I y I x I y I x I x I y I y = = . Итак , ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) A B C D A C B D I x y I x y ∩ × ∩ × ∩ × = . Равенство множеств доказано .