Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

44 Один из законов дистрибутивности имеет вид : ( ) ( ) ( ) A B C A B A C ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ . Вычислим индикатор левой части равенства . Итак , x ∀ ∈Ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A B C A B C B C I x I x I x I x I x I x I x I x ∩ ∪ ∪ = = + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A C A B C I x I x I x I x I x I x I x = + − . Индикатор правой части равен ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A C A B A C A B A C I x I x I x I x I x ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A C A B A C I x I x I x I x I x I x I x I x = + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A C A B C I x I x I x I x I x I x I x = + − . Таким образом , ( ) ( ) A B C x I x ∩ ∪ ∀ ∈Ω = ( ) ( ) ( ) A B A C I x ∩ ∪ ∩ . Следовательно , ( ) ( ) ( ), A B C A B A C ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ что и требова - лось доказать . Аналогично доказывается второй закон дистрибутивности . Для закона де Моргана имеем равенства : x ∀ ∈Ω ( ) A B I x I = ( ) ( ) ( ) 1 1 A B A B I x I x I x − = − I ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 A B A B A B A B A B I x I x I x I x I x I x I x I x I x = + − = = − + − − − − = U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . A B B A A B A B I x I x I x I x I x I x I x I x = − + − − + + − = − Итак , ( ) A B I x = I ( ) A B I x U . Следовательно , A B A B ∩ = ∪ , что и требовалось доказать . Пусть 1 Ω и 2 Ω два универсума , причем 1 A ⊂ Ω и 2 B ⊂ Ω . Тогда , индикаторную функцию 1, ( ) 0, A B z A B I z z A B × ∈ ×  =  ∉ ×  ( ) 1 2 z ∀ ∈Ω ×Ω