Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

29 Докажем равенство (2.11). Пусть отображения F , G , H имеют вид : : F A B → , : G B C → , : H C D → . Тогда ( ) : G H B D → o , ( ) : F G A C → o , ( ( )) : F G H A D → o o , (( ) ) : F G H A D → o o . Найдем значения ( множества значений ) отображений ( ( ))( ) F G H a o o и (( ) )( ) F G H a o o , для произвольного a A ∈ . По определению ком - позиции с учетом равенств (2.1), (2.10) получим ( ) ( ( ))( ) ( )( ( )) ( )( ) b F a F G H a G H F a G H b ∈ = = = o o o o U ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) c G b b F a b F a H G b H c ∈ ∈ ∈   =     = U U U ; (2.12) ( ) ( )( ) ( ( )) ( ) (( ) )( ) (( )( )) ( ) ( ) ( ). b F a c F G a c G F a c G b F G H a H F G a H c H c H c ∈ ∈ ∈ ∈ = = = = = o o o o U U U U Воспользуемся свойством ассоциативности объединения мно - жеств . Получим равенство : ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) )( ) ( ) ( ) b F a b F a c G b c G b F G H a H c H c ∈ ∈ ∈ ∈ = = o o U U U U , что совпадает с (2.12). Что и требовалось доказать . Второе доказательство . Пусть ( ( ))( ) ( ) : ( )( ) d F G H a b F a d G H b ∈ → ∃ ∈ ∈ → o o o ( ) ( ) b F a c G b → ∃ ∈ ∃ ∈ ( ) ( )( ) d H c c F G a ∈ → ∃ ∈ o ( ) d H c ∈ → (( ) )( ) d F G H a → ∈ o o .