Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

30 Доказано включение ( ( ))( ) (( ) )( ) F G H a F G H a ⊂ o o o o . Анало - гично доказывается и обратное включение . Таким образом , a A ∀ ∈ ( ( ))( ) (( ) )( ) F G H a F G H a = o o o o , что доказывает равенство (2.11). Ход доказательства иллюстрируется рис . 2.4. Рис . 2.4. Иллюстрация композиции отображений Доказанное равенство позволяет записывать произведение ( ) F G H o o без скобок в виде F G H o o . Из (2.11) по индукции следует , что если произведение ото - бражений 1 2 ... n F F F o o o существует при некоторой расстановке скобок , то оно существует и при любой другой расстановке ско - бок , причём результат не зависит от способа расстановки скобок . Последнее утверждение называется обобщенным законом ассо - циативности композиции . Композиция h f g = o функций : f X Y → и : g Y Z → опре - деляется как функция : h X Z → такая , что ( ) ( ) ( )( ) ( ( )) x X h x f g x g f x ∀ ∈ = = o . (2.13) Единичной функцией , или тождественным отображением множества A на себя , называется функция : A I A A → , такая что a A ∀ ∈ ( ) A I a a = . Очевидно , что для любого отображения : F A B → справед - ливы равенства A B I F F F I = = o o .