Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

22 Таким образом , любое отображение может быть частичным или полным , и каждое из них отображением в или на . Итак , имеет - ся четыре вида отображений : полные отображения в и на и час - тичные отображения в и на . Множеством прообразов элемента w W ∈ при отображе - нии : V W Γ → называется подмножество w V V ⊂ , равное w V = ( ) ( ) { } : v V w v = ∈ ∈Γ . Отображение 1 Г : W V − → называется обрат - ным к отображению Г , если образы элементов по отображению 1 Г − определяются как прообразы по Г , т . е . справедливо равенство ( ) 1 w w W w V − ∀ ∈ Γ = . Таким образом : ( ) ( ) { } 1 : w W w v V w v − ∀ ∈ Γ = ∈ ∈Γ . (2.3) Множество 1 Г ( ) w − также называется прообразом ( множест - вом прообразов ) элемента w при отображении Г . Если B W ⊂ , то множество 1 1 Г ( ) Г ( ) w B B w − − ∈ = U (2.4) называется прообразом множества B при отображении Г . Эти на - звания « прообраз элемента » и « прообраз множества » оправданы наличием функций 1 1 : 2 , : 2 2 V W V W f − − Γ Γ → → ϕ , связанных с обрат - ным отображением 1 : W V − Γ → так же , как функции f Γ и Γ ϕ свя - заны с отображением Г , а именно : 1 1 ( ) ( ); w W w w f − − Γ ∀ ∈ = Γ 1 1 2 ( ) ( ) W B B B − − Γ ∀ ∈ = Γ ϕ . ( см . (2.3), (2.4)). Заметим , что функция 1 − Γ ϕ не является обратной к функции Γ ϕ , но и не является обратным отображением ( многозначным ) к Γ ϕ ( 1 1 − − Γ Γ ≠ ϕ ϕ ) ( см . далее пример 2.2).