Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

17 Множества : A B β β∈ называются классами этого разбиения . В общем случае некоторые из классов A β могут быть пустыми . Если выполняется четвертое условие B A β ∀β∈ = ∅/ , (1.8) то разбиение называют разбиением на непустые классы . При решении многих задач рассматривать пустые классы бессмысленно , поэтому в этих случаях условие (1.8) считается обя - зательным и включается в понятие разбиения . Но при решении некоторых ( например , комбинаторных ) задач удобно допускать пустые классы . Разбиение множества A может быть конечным или бесконеч - ным . Конечное разбиение { } , 1, i F A i k = = , называется k- разбие - нием ; k - разбиение { } , 1, i A i k = называется ( r 1 , r 2 , … , r k ) - разбиением конечного n - множества A ( ) A n = , если 1, i k ∀ ∈ i i A r = . Здесь i A обозначает число элементов множества ; i A 0, 1, i r i k ≥ = – произ - вольные целые неотрицательные числа , сумма которых равна n . « Наивная » теория множеств , основные понятия которой бы - ли рассмотрены , была развита немецким математиком Г . Кантором (1845 – 1918). В XIX веке она стала единым фундаментом матема - тики . Результаты и методы различных разделов математики оказа - лось возможным излагать и формулировать в терминах теории множеств . Однако в конце XIX – начале XX века были открыты так называемые логические парадоксы ( рассуждения , приводящие к противоречиям ) в математике , и в том числе в самой теории множеств . К числу таковых относится известный парадокс Рассела : существуют множества и элементы . Элементами множеств могут быть множества . Большинство множеств не являются элементами