Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

18 самих себя ( ) Х Х ∉ . Существуют множества , которые являются элементами самих себя , например , « множество всех множеств ». Обозначим { : } А X X X = ∉ множество всех множеств , не являющих - ся элементами самих себя . Выясним , является ли множество A эле - ментом самого себя ? Очевидно , ( ) А А А А ∈ → ∉ &( ) A A A A ∉ → ∈ . Получено противоречие : A одновременно является и не является элементом самого себя . Стало ясно , что « наивная » теория множеств , допускающая противоречивые рассуждения ( парадоксы ), не может служить фун - даментом математики . Дальнейшие исследования показали , что причиной появления парадоксов является допущение « наивной » теории множеств о том , что любой предикат определяет некоторое множество . Если отказываться от этого допущения , то парадоксы исключаются . Стало необходимым ограничить « наивную » теорию множеств . Но как построить теорию в этом случае ? Возникла проблема обоснования математики , т . е . такого ее построения , которое бы исключало возможность появления пара - доксов , но было бы достаточным для решения широкого круга задач . Одним из направлений в обосновании математики явился ак - сиоматический метод . Суть этого метода заключается в том , что все результаты математической теории получаются из некоторого ограниченного множества формул данной теории , называемых ак - сиомами , с помощью определенных правил вывода , характери - зующих законы мышления ( логики ). Виды и методы построения аксиоматических теорий , а также их желаемые свойства изучаются в математической логике . Были предприняты различные попытки аксиоматического построения теории множеств . Впервые аксиоматическая теория множеств была построена Э . Цермело (1880), которая была допол -