Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

113 55. Для отношений неравенства кортежей ( ) p и лексикографи - ческого неравенства кортежей ( ) p ( см . упражнения 46 г , д ) в случае 2 n = изобразите на декартовой плоскости решения неравенств ( ) x a p , ( ) a x p , ( ) x a p , ( ) a x p . Здесь ( ) 1 2 , a a a = – фиксированная точка плоскости ( ) 2 , −∞ ∞ . 56. Доказать , что эквивалентностями являются следующие отношения , заданные на множестве 2 N : ( ) 2 1 2 , x x x y ∀ = ∈ ∀ = N ( ) 2 1 2 , y y = ∈ N : а ) 1 2 2 1 xRy x y x y ↔ + = + ; б ) 1 2 2 1 xRy x y x y ↔ = . 57. Доказать , что если отношения 1 R и 2 R симметричны , то симметричны и отношения 1 1 1 2 1 2 1 1 1 , , , R R R R R R R − − ∪ ∩ o . 58. Доказать , что если отношения 1 R и 2 R антисимметрич - ны , то антисимметричны и отношения 1 1 2 1 , R R R − ∩ . 59. Доказать , что любое отношение симметричное и анти - симметричное одновременно , является транзитивным . 60. Доказать , что если R – эквивалентность , то 1 R − также эк - вивалентность . 61. Доказать , что пересечение любой системы эквивалентно - стей является эквивалентностью . 62. Пусть R – отношение неравенства кортежей длины 2 с эле - ментами из конечного множества {0,1,2,3} с обычным неравенст - вом чисел . Выполните следующие действия : а ) докажите , что отношение R является частичным порядком ; б ) определите отношение доминирования , индуцированное этим порядком ; в ) постройте диаграмму Хассе ; г ) найдите минимальные и максимальные , наименьшие и наи - большие кортежи .