Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

112 48. Пусть A – множество студентов данной академической группы . Докажите , что отношение « сидеть в одном ряду », задан - ное на множестве A , рефлексивно , симметрично и транзитивно , т . е . является отношением эквивалентности . 49. Изобразите в виде подмножеств соответствующих декар - товых квадратов отношения из упражнений 46 а , б , в , е . 50. Обладает ли отношение R на множестве {0,1,2,3,4} A = свойством транзитивности , если а ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0,1 , 1,2 , 2,3 , 3,4 R = ; б ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { 0,0 , 0,2 , 1,0 , 1,2 , 2,0 , 2,1 , R = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,2 , 3,0 , 3,2 , 3,4 , 4,2 } . 51. Докажите , что отношение ≡ равенства по модулю 5 на множестве 12 1 {1,2,...,12} = N является отношением эквивалентности . Изобразите это отношение на декартовой плоскости . Найдите классы смежности всех элементов множества 12 1 N и фактор - множество ( ) 12 1 ≡ N множества 12 1 N по этой эквивалентности . 52. Доказать , что эквивалентностями являются : а ) отношение подобия треугольников ; б ) отношение подобия геометрических фигур ; в ) отношение принадлежности одной студенческой группе ; г ) отношение параллельности прямых на плоскости ; е ) отношение равномощности множеств ; ж ) отношение тождества на произвольном множестве . 53. Доказать , что отношение ( ) 2 , R ⊂ −∞ ∞ , определяемое ус - ловием ( )( ) , , x y xRy x y ∀ ∈ −∞ ∞ ↔ − ∈ Q , где Q – множество рациональных чисел , является эквивалентно - стью . Опишите классы смежности элементов множества ( ) , −∞ ∞ . 54. Доказать , что отношение включения множеств ( ) ⊂ , за - данное на множестве ( ) 2 Ω Ω ≠ ∅ , является частичным порядком .