Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

8°. (arcsinx) хб(-1; \); VI 9°. (arccosx)'=—, ^ , хб(-1; 1); VI 10°. (arctgx)'=—!—r, х е Я ; 1 + x 11°. (arcctgx)'= xeR. 1 + X Доказательство. Начнем с очевидных замечаний; если / ( х ) =х, то / ' ( х ) = 1. Это мы видели раньше, когда отыскивали дифференциал этой функции (впрочем, это можно показать и непосредственно); если / ( х ) = с = const, то f' = 0, поскольку A / ( x ) s 0. Докажем теперь формулу 3°: 1п(х+Ах)-1пх 1 , {, Дх^ I X , (, АхЛ 1, (, - - -- - - - -In 1 + — = In 1 + — =—In 1 + - ' Ах Дх V X j X Дх Поскольку 1пх - непрерывная всюду в области определения функция, то в силу второго замечательного предела имеем: Дх ^ ^ • I — L. Дх—>0 ^ X lim In 1+ — =ln X J = ]ne- Таким образом 1п(х+Дх)-1пх 1 „ 1 L = т.е. (Inx) = - . Д-t-to Дх X X Пользуясь формулой loSo^ = 7 ^ = lnx-log „e, In a легко получить формулу 3 : ( l o g „ x ) ' = i 5 i 5 l : x l n a Теперь формула 2 ° получается просто; е ' - обратная функция к Inx, поэтому, если обозначить у = е ' , то.- 98