Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

т.е. параметрически заданная функция оказалась дифференцируемой. Но тогда возникает вопрос, как найти ее производную? Ответить на этот вопрос позво­ лит следующая теорема. Теорема 6.5 (о производной функции, заданной параметрически). Пусть функции x = q)(t) и j' = V|/(0 дифференцируелш в точке и функция ф удовлетворяет условиям теоремы 6.4. Тогда параметрически заданная функ­ ция дифференцируема в точке Лд = ф(/о), причем Доказательство. По теореме 6.3 найдем производную сложной функции: Теперь можем перейти к выводу производных элементарных функций. При этом воспользуемся лишь первым и вторым замечательными пределами (поэтому они и названы замечательными!) и правилами нахождения производ­ ных, полученными выше. Теорема 6.6. Имеют место следующие формулы: /'(хо) = М/'(го)(ф ' ) (хо). Но по теореме 6.4 Таким образом/ ' (хо) = -^-77^, что и требовалось. Ф (^о) 2'. (а'') =а''\аа при всех а >0; 05*1; xe.R\ 3°. (Inх)' = при всех л: > О; X З'. (logaX)'= при всех х > О, а>0 , xlna 4°. (sin.x:)' = cosx, xe.R\ 5°. (cosx)' =-sinx, xeR\ 6°. (tgx)'= — п р и всех л: из области определения tgx; cos л: 7°. (ctgx)'= - \ при всех.* из области определения ctgx; sin" ,v 97