Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

/(-У)-/(-^ч) ! ^ 1 х-Хд х-Хр ф(>')-ф(>'п) /(х) --/(Хо) у -Уд Поскольку /непрерывна в точке xj,, то у-уо —кроме того, су- f(x) — f(x \ шествует lim Поэтому, переходя к пределу в последних равенст- .K-fXO X - Хо вах, получим f'(x(i) = —7-~ —г, т.е., возвращаясь к старым обозначениям, имеем Ф (Уо) , ЧТО и требовалось. / (^о) Определение 6.2. Пусть в заданы две функции л = ф(0> y = V(0; t sUi { t o) , (6.11) при этом ф - строго монотонная функция. Обозначим :'о=ф('о)> >'о=Ч'('о)- Поскольку существует обратная функция / = ф"'(х), то можно определить в не­ которой окрестности точки X Q сложную функцию / ( х ) = 1|/(ф''(х)). (6.12) В этом случае f{x) называется функцией, заданной уравнениями (6.11) параметрически, а t называется параметром f Например, х~е', y =y f f , t>Q, т.е. (p(t)-e', v(r) = ^/<. Тогда Г =Ф~'(х) = Inx; х > 0 и при всех х>1 определена f { x ) =\ [ i f \ x ) =V l nx , заданная параметрически. Однако далеко не всегда можно найти аналитическую запись функции f. Например, х = ^1п/; v = sm^; <>1. Ясно, что t\nt - строго растущая непре­ рывная функция и, следовательно, у нее существует обратная (строго монотон­ ная и непрерывная), но найти явную запись / = ф~'(л:) невозможно. (Эта ситуа­ ция обычна для математики; аналитическая запись возможна лишь в виде ком­ бинаций из набора элементарных функций, но этот набор слишком узок и беден для того, чтобы описать все многообразие функций, встречающихся в природе.) Более того, как вскоре увидим, функции ^ = <1п/ и у = sm/ диффренцируе- мы во всех точках t из общей области их определения и х'(г) Ф О при сле­ довательно, ф"'(х) таюке дифференцируема при всех х > О в силу теоремы 6.4. Но тогда по теореме 6,3 дифференцируема и сложная функция /(л') = з1п(ф''(.1с)), 96