Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Заметим, что g(j:y +^л-)- g'(.tQ) = Ag'(.to), отсюда g (.to + = §•{ xu) + Ag(.vo) = >0 + Ag {x „) И, кроме того,Д ^ ( л о ) — • >О в силу непрерывности gB точке .V Q - Тогда что и требовалось. Следствием из полученной формулы является следующее свойство диф­ ференциала: Свойство инвариантности (неизменностн) формы дифференциала. Пусть выполняются все условия теоремы б.З. Тогда dF{xo) = f'{yo)dg{xo). Доказательство. По формуле вычисления дифференциала dF{xo) = f'{yo)dg{xQ), но ^''(^o) = /'bo)g-4^o)' ^ dg{xo)= g '[xo)dx, поэто­ му dF{xi)) = f' (Уо)ё'' = f' {yD)dg[xo) , что и требовалось. Это свойство можно интерпретировать следующим образом: независимо от того, является ли х независимым аргументом или является функцией (диф­ ференцируемой) другого аргумента, форма записи df[xij) = /'[xg^dx остается верной в любом из этих случаев. Теорема 6.4 (о производной обратной функции). Пусть f строго монотонна в окрестности точки Хц и дифференцируема в точке XQ, причем f' [хо)Фй, тогда обратная функция дифференцируема в точке у„ = /(.Го) и ( г 1 Ы ' ~ ; у №.0) Доказательство. Обозначим для простоты / " ' = (?, у= /(.с). Тогда 95