Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

отсюда следует сущесгвование обеих односторонних производных, не равных друг другу. Правила дифференцирования. Теорема 6.2. Пусть функции f u g дифференцируемы в точке Хц, тогда в этой точке дифференцируемы функции f +g , f - g, f • g иf i g (e nocned- нел1 случае предполагается g(xo)?iO) и имеют место фор.мулы if ±^)' {xo) = f' (ло)±&(ло); ( / • я)' (^о) = /'(-*o)g(^o) + f{xo)g' {xo)l (6-8) [ / Y _ f ' { x a ) g { ^ o ) - f { ^ o ) g ' { x o ) U J g^(^o) Доказательство. Докажем, например, вторую из формул. Остальные доказываются аналогично. A(/-g)(^o) _ f{xo + dx)g{xo + dx)-f{xQ)g{xo) _ dx dx = /(^0 +dx)g{xo+dx)-f{xo+dx)g{xQ) ^ /(xp + t/;c)g(xo)-/(;co)g(xo) ^ dx dx dx dx Поскольку, в силу непрерывности /имеет место f[xo +dx) —•-)/(хо) и функции/ и g дифференцируемы, то последнее выражение имеет предел при rfx —> 0: 1^0 f' + f{''a)g' Ы, что и требовалось. Теорема 6.3 (о производной сложной функции). Пусть g определена в окрестности (/5(^0) и g(xo) = >'o, / определена в окрестности С/Дуо) и ^(С/Д.^о))^ (УДуо). Пусть g дифференцируема в точке Хо, а / дифферен­ цируема в точке уо- Тогда сложная функция F(x) = f{g(x)) дифференцируема в точке Хо и P'{xo) = f'{ya)g'{xo)- (6-9) Доказательство. Пусть dx - произвольное приращение аргумента х в точке XQ , тогда; 94