Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Отсюда /Ы + с1х)-/{хо) o{dx) Cix dx ' т.е. производная существует и L = /'( XQ )-Теорема доказана. Доказанная теорема, кроме формулы (6.7), по которой дифференциал можно вычислить, показывает, что дифференцируемость / в точке равно­ значна существованию /'(л'о), поэтому функцию, имеющую производную в точке Хо, будем также называть дифференцируемой в этой точке, а процедуру нахождения производной / ' ( ^о ) будем называть дифференцированием / Заметим также, что дифференциал / называют главной {линейной) частью приращения функции, поскольку по дифференциалу / можно судить о А/ ( ^о ) S достаточно малой окрестности точки XQ - Из определения дифференциала функции легко получить Следствие. Дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке. Доказательство. Поскольку правая часть формулы Д/(^о) = f ' ixo)dx + o { dx ), очевидно, имеет предел при dx —>0, равный нулю, то и т Д / ( х о ) =0 , dx->0 откуда и следует непрерывность / в точке л,,. Замечание. Однако обратное утверждение не имеет места. Легко постро­ ить функцию, непрерывную в точке X Q , но не имеющую в этой точке производ­ ной. Например, / ( х ) = 1л:|, XQ = Q . Очевидно / ( х о +л ) - / ( х о ) = | 0 +л 1 - 1 о | =| л 1 — и / непрерывна в точке Ло = О. Однако Af{xa)_\dx\_ [ 1, если dx>Q; dx dx \-1, если dx<0. Таким образом, fitTo dx dx 93