Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1 = 1, то есть dy = dx = \-hx = &x. Поэтому обычно выражение для дифферен­ циала функции/ записывают в следующей форме: df{xo) = L-dx. Пример. Пусть /(.г) = Найдем dfi^x^)'. hf[x „) = {xt) + dxf -.Vo = Ло +Ъxldx + Ъxo{dxf^ ~ xl = 3xldx + 3xo(dxf'. Очевидно, 3A:o(ffe)^ =о(а[х), следовательно, / дифференцируема, Z, = Зхо и df{Xf)) = 3xldx. Однако, такой способ (основывающийся только на определении), очевид­ но, не годится для достаточно сложных функций. Поэтому встает задача; во-первых, выяснить условия, при которых дифференциал / существует, во-вторых, найти формулу для его вычисления. Теорема 6.1. Для того чтобы / была дифференцируема в точке XQ, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала При этом L = f' [хо), т. е. df{xa) =f ' { x t i ) dx . (6.7) Доказательство. Пусть существует /'[х^), т.е. существует конечный предел dx Тогда существует a(dx) такая, что a(dx) —>0, для которой справед­ ливо равенство ИЛИ f[xfi + dx)-f[xg) = f'[xu)dx + a(dx)-dx. Очевидно CL{dx) •dx = o{dK), поэтому L = f'{xo) и df{xa) = f'{x^)dx. Обратно, е с л и / дифференцируема в точке XQ , то найдутся L и o{dx) такие, что /(хц + dx^ - /(^о) =L- dx + o{dx). 92