Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

или Г ( л , ) = ItaM i ^ ) . "•* A.v-^O Дд; Таким образом, производная/в точке Л(, существует тогда и только то­ гда, когда в этой точке существует касательная к фафику f. При этом уравнение касательной примет вид: У = f{4) +f'{ч){х-ч) (6-5) и, соответственно, / ' ( хд ) есть угловой коэффрщиент касательной или, что то же самое, /'(^о) - тангенс угла наклона касательной в точке (хо, /(xq)). Э ТОТ факт называется геометрическгш смыслом производной. ,• Д / Ю Если существует nm—^—- и конечен, то его называют левосторонней д jto Дх Д/(л:о) производной f в точке X Q . Аналогично, если существует конечный hm ^—-, Дд:-1-0 Дх ТО его называют правосторонней проюводной f в точке X Q . Очевидно, произ­ водная функции существует тогда и только тогда, когда существуют и равны ее односторонние производные. Дифференциал функции. Пусть по-прежнему/определена в С/д (ло) . Определение 6.1. Если существует такое число L, что для любого xeU^{x^) имеет место fix)-f{x^) = L{x-x^) + o{x-x^) (6.6) или, если обозначить х - хо = Лх, Д / (хо) = i • Ах + о(Дх), то / называется дифференцируемой в точке Лд, а произведение L • Ах называет­ ся ее дифферет1иалом в точке XQ , вычисленным при приращении аргумента, равном Ах. Обозначается дифференциал символом с1/[х^). Таким образом df(^Xi^)=L-Ax. Заметим, что если рассмотреть функцию =х , то у ( X Q + Ах) - ( XQ ) = Ах = 1 • Дх + О. Очевидно, что ноль есть величина более высокого порядка малости, чем Ат; О = о (Ас), поэтому у = х дифференцируема в любой точке X Q е R , при этом 91