Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Определение касательной к графику функции Пусть хотя бы в окрестности СУ5(ло) точки .v „ определена функция/ Запишем уравнение прямой, проходящей через точку ( XQ , /( XQ )): у = /[ха) + к[х-Хо),к- угловой коэффициент. Эта прямая называется касательной к графику фуик1(ии f в точке XQ, если для всех л S С/5(хо) имеет место (см. рис. 14): / W - 3^ = fix) -[f{xo) + k(x-xo)) = o{x-xo), ИЛИ, что т о же самое» /(•*) -/(•*!)) = к{х-хо) + о{х-хо). Поделив обе части равенства на л- - лго, получим: / ( х ) - / ( х о ) ^ O ( J :-J^ O ) X-Xfj Х— Хо Поскольку второе слагаемое в выражении, стоящем справа, имеет предел, равный нулю при д: - X Q О, то мы видим, что касательная прямая существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел ^->хо X-XQ Заметим, что этот предел будетуг/ювьш коэффициентом касательной. Определение производной функции в точке Пусть/ определена в ( XQ) И существует конечный предел lim / W - / ( " " ) . (6.4) х->ло X-XQ Тогда этот предел называется производной f в точке X Q И обозначается f i , \ df{xo) f (Хо) или— V - ах Если положить .v - ^0 = Д.^:, то x-Xq+Ajc И предел (6.4) можно записать так: Дл-»п Дд: 90