Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Рис. 14 Запишем уравнение секущей, проходящей через точки (хр. /(j^o)) и (хо+Аж, /(хо + Аж)): (6.,) /(лго-ьЛх)-/(л:о) r j . - т- Здесь — — - - угловой коэффициент секущей. Если сущест- Дл вует конечный предел (6.2) Д д:-»0 Д зс ТО, переходя к пределу в (6,1), получим уравнение У = F{XD) + K{X-X^). (6.3) Полученное уравнение можно истолковать как уравнение прямой, являющейся «предельным положением» секущей. В школьном курсе эту «предельную прямую» назвали касательной. Конечно, приведенные рассужде­ ния не являются строгими уже потому, что мы не знаем, как понимать стремле­ ние одной прямой к другой; кроме того, нам надо строго ввести определение касательной к графику функции. Из приведенных задач видим, что всякий раз при введении таких важ­ нейших характеристик, как мгновенная скорость, плотность вещества (задачи можно было бы приводить все новые) нам приходится рассматривать предел одного и того же вида (6.2). Поэтому займемся его подробным изучением. 89