Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

6. Дифференциальное исчисление функций одного переменного Рассмотрим несколько задач, приводящих к понятию производной функ­ ции в точке. Задача 1. Пусть вдоль оси S движется прямолинейно некоторая точка и пусть в любой момент времени / мы можем найти ее координату 5(0 на оси S (т. е. измерить путь, прюйденный от начала движения к моменту t). Если рас­ смотреть As = s(t+At)-s{t) - путь, пройденный за промежуток времени [f; ^ + Ai], то отношение s{i + At) - s(t) bi At представляет собой среднюю скорость точки на временном промежутке [i; t +Ai]. Ясно, что эта характеристика движения тем точнее, чем короче вре­ менной промежуток. Если существует конечный предел lim^ ^ ^ = v(t), л,-л Al то он называется скоростью точки в момент времени t. Задача 2. Пусть задан прямолинейный стержень с переменной плотно­ стью материала, из которого он изготовлен; толщиной стержня будем пренеб­ регать. Пусть X - точка стержня, Ал: - длина куска стержня, М{х) - масса куска стержня от начала до точки х. Тогда отношение АМ(х) _М{х + Ах)-М{х) Ах Ах представляет собой среднюю плотность вещества стержня. Если существует конечный предел ,. ДМ(х) , , Г = Р(^). д г-^о Дх то этот предел называется плотностью (линейной) стержня в точке х. Видим, что в обеих задачах нам пришлось рассматривать предел вида lim + Д '->0 Ах Рассмотрим его геометрический смысл, который не будет зависеть от фи­ зической сущности функции f (рис. 14). 88