Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

f ( x „ ) + + - + 8. Исследовать на равномерную непрерывность на заданных множествах; а) / ( х ) = 1пх, П = (0; I]; б)/ W = ^ , Z) = (0; л]; д; в) /( •'f) = e ' ' c oS~ , D = (0; 1]; X г) f(x)-arctgx, D = R; Д) f{x) = 4x, D = [0: +co); e) / ( x ) = Xsin л:, Z3 = [0; +oo). P e Ш e H и e. a) Докажем, что функция не является равномерно непрерыв­ ной на множестве. Для этого достаточно установить истинность утверждения Зе> О VS> О Зх,, j:2 е -л:21< 5=> ИпЛ) -lnx2 Возьмем, например, jc, = 1/6 и Xj = 1/(25). Тогда П 1 1 In—In — 5 25 In 2S :1 п2 a значит, в качестве Б МОЖНО выбрать 1п2. Что и требовалось доказать. 9*. Пусть функция / монотонна, ограничена и непрерывна на (а, Ь). Бу­ дет ли она равномерно непрерывной на (а, Ь) ? Свой ответ пояснить. Ответы 4. а) 2 - точка разрыва I рода; б) 1 и 5 - точки разрыва II рода; в) 1 - точки разрыва II рода; г) 3 - точка разрыва I рода, 5 - точка разрыва II ро­ да; д) -2 и-3 - точки разрыва II рода, -1 - точка устранимого разрыва; е) -1 и 1' точки разрыва II рода, О - точка устранимого разрыва; ж) - 1 - точка разрыва И рода, О и 1 - точки устранимого разрыва; з) О - точка устранимого разрыва; и) Z - множество точек разрыва I рода; к) Z - множество точек разрыва 1 рода; л) Z\{0) - множество точек разрыва II рода. 8. б) равномерно непрерывна; в) не является равномерно непрерывной; г) равномерно непрерывна; д) не явля­ ется равномерно непрерывной; е) не является равномерно.непрерывной. 9. Да. 87