Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

понимать, например, под функцией у =fiC^, а>0, а 1, если д: - любое дейст­ вительное число. Точнее, как понимать значениед', если х - иррациональное число. Отметим здесь, что если х - иррациональное число, то оно может быть представлено как предел последовательности рациональных чисел; х = lim г„ . П Поскольку возводить число в рациональную степень мы умеем, то по опреде­ лению будем полагать а' = . Разумеется, нужно показать, что, во-первых, этот предел существует и, во-вторых, что он не зависит от выбора последовательности г„ , сходящейся к х. После этого уже можно доказать строгую монотонность и непрерывность у = потом легко исследовать и непрерывность logo ^ • Для того чтобы строго реализовать этот путь, потребуется достаточно много работы, поэтому без доказательства примем тот факт, что все элементар­ ные функции непрерывны в любой точке области их определения. Подробно о непрерывности элементарных функций можно прочитать в любом достаточно полном учебнике по математическому анализу, например, в книгах [1, 2]. Упражнения х^-25 1. Показать, что при х = 5 функция f(x) = имеет разрыв. х-5 Р е ш е н и е. В точке x = 5 функция не определена. В других точках дробь можно сократить на х~5. Следовательно, f{x) = x + 5 при х^5. Легко видеть, что lim f(x)= lim f(x) = \0. Таким образом, при х = 5 функция I -I 5-0 л -» 5+0 имеет устранимый разрыв. 2. Показать, что при д: = 4 функция / ( x ) = arctg—^— имеет разрыв. х-4 Р е ш е н и е. Если д : ^ 4 - 0 , то—^ и lim /(л:) = -7г/2. Если х-4 .*->4-0-' же x->-4 + 0, то — >-+00 и lim /(д:) =л/2. Итак, функция при х - ^ 4 X — 4 г -» 4+0 имеет как левый, так и правый конечные пределы, причем они различны. Сле­ довательно, х = 4 является точкой разрыва I рода - точкой скачка. Скачок функции в этой точке равен п. X 3. Показать, что при д: = 4 функция/(х) = имеет разрыв. х-4 85