Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Таким образом, / непрерывна в точке Хд как слева, так и справа, что и требовалось. Теорема S .10. Если f строго монотонна на [о; Ь], то у нее существует обратная функция, также строго монотонная. Если, кроме того, f непрерывна на [а; Ь], то областью определения обратной функции является отрезок и она непрерывна на нем. Доказательство. Пусть для определенности / строго возрастает, то есть Xf < Х2=> /(х]) </ ( x j ) . Но это значит, что х, Xj => / / ( ^ г ) и / обрати­ ма (инъективна). Если же У\ ^ уг - значения / такие, что < У2> то A'l =/"'(>'|) < ^2 =/"'(>'2) (в противном случае, если Х^>Х2, то f { x i ) =y i > f { x 2 ) =y i , чего нет). Таким образом, обратная функция также строго возрастает. Если же/непрерывна, то она принимает любое значение, лежащее между f{a) и /(Ь), т.е. областью определения / " ' является отрезок [/(а); /(b)]. Наконец, для любого хе[а-, Ь] определены значения y = f{x) и / " ' ( у ) =х , т.е. обратная функция принимает любое значение х е [ а ; Ь], откуда следует ее не­ прерывность. Теорема доказана. Непрерывность элементарных функций Напомним, что к элементарным функциям мы относим степенные, пока­ зательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометриче­ ские функции. Непрерывность тригонометрических и обратных тригонометрических функций на их области определения почти очевидна. Например, если /(x) -sinx.TO : |/(хо +Лг)-/(хо)|=2 . Лх ( Дх sm cos Xn н 2 I 2 £ 2 . ^x sin 2 < 2 - ^ = | А х | , 2 ' откуда следует, что для любого Е >0 достаточно взять 5 = в, чтобы выполни­ лось определение непрерывности в точке X Q на языке Коши. А поскольку л ж то arcsmx непрерывна и /(x) = sinx строго монотонна на отрезке строго монотонна на [-1; 1]. Гораздо сложнее депо обстоит с показательными и степенными функция­ ми. Дело в том, что в школьном курсе математики нет определения того, что 84