Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

->А'о. (5.4) У,„ -^Ха -\у,ц -л:,„1+1-4 --^ol — г-^0, поскольку х„ Но тогда 1/(л:„.-)-/(у.0|^Е. Поскольку 3^ = 1 л] есть, очевидно, непрерывная функция, то lim]/ [х„ ,) - / (>'„, I = jlim f(x „ .) - lim / [y„,) = ]/ (j^o) - / (j ^o )l = 0 , чего в силу (5.4) быть не может. Полученное противоречие доказывает теорему. Теперь приступим к изучению связей между такими свойствами функций, как непрерывность и монотонность, поскольку монотонные функции представ­ ляют собой класс функций, обладающих специфическими, «хорошими», свой­ ствами. Например, мы видели, что всякая непрерывная функция принимает на отрезке любое из значений, заключенных между наибольшим и наименьшим значениями f . Обратное утверждение, однако, далеко не всегда справедливо; если мы рассмотрим функцию fx, x e [ 0 ; 1]; /(-v) = х-\, д: е (0; 2], Рис. 13 график которой имеет вид, изображенный на рис. 13, то она, будучи разрывной, тем не ме­ нее принимает любое значение между /(0) = 0 и / ( 2 ) = 1. Но если от / потребо­ вать монотонности, то картина меняется. Теорема 5.9. Если f монотонна на от­ резке [о; 6] и принимает любое значение между наибольшим и нагшеньгиим, то она непрерывна на [а; Ь]. Доказательство. Положим для определенности, что / монотонно воз­ растает, т.е. Xi <^2 =>/ ( x i )</ ( х г ) . Тогда / ( а ) - ее наименьшее, а /(Ь)-наи­ большее значения на [а; Ь],т.е. / ограничена на [а; Ь]. Пусть XQ 6 [а; Ь], тогда в силу монотонности и ограниченности сущест­ вуют lim/(x) = c, и lim/(x) = C2. Очевидно, с, </(хд) <Ci• Строгое неравен- ство C| </ ( хо ) невозможно, иначе ни одно из чисел интервала (ci; /{^ Q )) не может быть значением /, т.е. с, =f { x o ) . По той же причине с, =/ { хд ) . 83